Toán hữu hạn Ví dụ

$3 = \log_{b} (\frac{27}{64})$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ .

$\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$

Bước 2

Viết lại $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$b^{3} = \frac{27}{64}$

Bước 3

Giải tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $\frac{27}{64}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$b^{3} - \frac{27}{64} = 0$

Bước 3.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $\frac{27}{64}$ ở dạng ${(\frac{3}{4})}^{3}$ .

$b^{3} - {(\frac{3}{4})}^{3} = 0$

Bước 3.2.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = b$ và $b = \frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + b (\frac{3}{4}) + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Bước 3.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Kết hợp $b$ và $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{b \cdot 3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Bước 3.2.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 \cdot b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Bước 3.2.3.3

Nhân $3$ với $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Bước 3.2.3.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}}) = 0$

Bước 3.2.3.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{4^{2}}) = 0$

Bước 3.2.3.6

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$

Bước 3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Bước 3.4

Đặt $b - \frac{3}{4}$ bằng $0$ và giải tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $b - \frac{3}{4}$ bằng với $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $\frac{3}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$b = \frac{3}{4}$

Bước 3.5

Đặt $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ bằng $0$ và giải tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đặt $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ bằng với $0$ .

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Bước 3.5.2

Giải $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$ để tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $16$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$16 b^{2} + 16 (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Bước 3.5.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.2.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$16 b^{2} + 4 (4) (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Bước 3.5.2.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 b^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{3 b}{4})) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Bước 3.5.2.1.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$16 b^{2} + 4 (3 b) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Bước 3.5.2.1.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Bước 3.5.2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Bước 3.5.2.1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$16 b^{2} + 12 b + 9 = 0$

Bước 3.5.2.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.5.2.3

Thay các giá trị $a = 16$ , $b = 12$ , và $c = 9$ vào công thức bậc hai và giải tìm $b$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Bước 3.5.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.4.1.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Bước 3.5.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Bước 3.5.2.4.1.2.2

Nhân $- 64$ với $9$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Bước 3.5.2.4.1.3

Trừ $576$ khỏi $144$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Bước 3.5.2.4.1.4

Viết lại $- 432$ ở dạng $- 1 (432)$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Bước 3.5.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (432)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Bước 3.5.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Bước 3.5.2.4.1.7

Viết lại $432$ ở dạng $12^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.4.1.7.1

Đưa $144$ ra ngoài $432$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Bước 3.5.2.4.1.7.2

Viết lại $144$ ở dạng $12^{2}$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Bước 3.5.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Bước 3.5.2.4.1.9

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Bước 3.5.2.4.2

Nhân $2$ với $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Bước 3.5.2.4.3

Rút gọn $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 3.5.2.5

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$ đúng.

$b = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$